数学を楽しむ　学びの扉

古代のエジプトやバビロニアでは、毎年河川が氾濫を起こしました。
すると、河の流れや地形が変わってしまうこともあります。
ある年、エジプトのナイル河の氾濫の後、河川の流れが変わり、隣接する耕地（畑）だった場所に流れが入り込んでしまいました。下の図を参照。

そこで、もとの四角形の耕地と同じ面積の三角形の耕地にしなければなばらなくなりました。
どのようにすればいいでしょうか。できるだけ、元の場所を活用することが条件です。
古代エジプトの人びとは、こういう場合に、どうすれば元の耕地＝図形と同じ面積の別の図形をつくる方法を知っていたようです。

彼らは、上の図のようにして四角形と同じ面積の三角形をつくりました。
まず、辺ＢＣを延ばします。
次に、四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣと平行な直線（線分）ＥＦを、点Ｄを通って、辺ＢＣの延長線に達するように引きます。
それから、点Ａと点Ｆとを結ぶ線分を引きます。
すると、四角形ＡＢＣＤと同じ面積の三角形ＡＢＦができ上がります。
では、なぜ、四角形ＡＢＣＤと三角形ＡＢＦの面積が等しくなるのでしょうか。

≪TVも注目≫中学生6000名を伸ばした驚異の数学ソフト！公立中学でも導入決定！

ポイントは平行線の性質です。
三角形ＡＣＤと三角形ＡＣＦの面積が等しくなるからです。
この２つの三角形では、底辺ＡＣは共通です。しかも、ＥＦ//ＡＣということで、高さも同じですから、《底辺×高さ÷２》で求める数値が同じということになります。
四角形ＡＢＣＤの面積＝三角形ＡＢＣの面積＋三角形ＡＣＤの面積
三角形ＡＢＦの面積＝三角形ＡＢＣの面積＋三角形ＡＣＦの面積
ここで、三角形ＡＣＤの面積＝三角形ＡＣＦの面積ですから、
四角形ＡＢＣＤ＝三角形ＡＢＦ　となります。ＱＥＤ（以上で証明がなされました）

問題を単純化しましょう。
上の図で、ＤＥ//ＢＣです。
２本の平行線では、そのあいだの距離は常に等しいわけですから、３つの三角形ＡＢＣ、ＤＢＣ、ＥＢＣの高さは同じということになります。
そして、底辺ＢＣは共通ですから、この３つの三角形はすべて同じ面積です。 つまり、２つの平行線で、底辺が共通の三角形で、頂点が他方の線上にあるものは、すべて等しい面積となるのです。
ある図形と等しい面積の別の図形を作成することを「等積変形」と呼びます。

人類はそうとう古い古代から、図形や幾何学について考え抜き、さまざまな法則や定理・公理を発見してきました。
とりわけ明白な記録や証拠が残されているのは、古代エジプトとメソポタミア（バビロニア）です。

≪TVも注目≫中学生6000名を伸ばした驚異の数学ソフト！公立中学でも導入決定！

おそらく、ともに毎年氾濫を繰り返す大河が流れているためだと考えられています。
というのは、毎年春から夏にかけて、エジプトではナイル河が、メソポタミアではティグリス河とユウフラテス河が、膨大な雪解け水のために洪水を起こしました。
ティグリスと言うのは、ギリシア語で「トラのように獰猛なもの」という意味だそうです。たぶん、その河は氾濫するときには、ものすごく猛威をふるったからでしょう。
さて、河は水の供給源ですから、流域には畑・耕作地が広がっていました。毎年の氾濫は、上流から肥沃な土砂を運んでくれたので、この両地帯は肥沃な農地だったわけです。

ところが、河が氾濫すると、河の流れ筋が変わってしまったり、土地が変形したり、畑の境界線が消え去ってしまいます。
そうすると、農民たちに以前と同じ形状や面積の耕地を復元してやらないと、争いのもとになってしまいます。
同じ形の畑を復元しなければなりせん。もし地形が変わってしまってそれが無理なら、同じ面積の耕地を公平に分け与えなければなりません。
そのために、図形の性質を検討して幾何学が発達し、面積を求める方法、そして形を変えて同じ面積にする方法（等積変形）や数学が発達したのでしょう。
さらに、幾何学や数学は、のちのピュラミッド建設や都市の大型建物の建設のために、役立てられ、さらに発展していったことでしょう。

ところで、図形の面積とは何でしょうか
平面で見た場合の「広がりの大きさ」ということらしいのですが、実は、数学上の明確な定義はないようです。
強いて言えば、図形のなか（表面）に「正方形がいくつ入るか」ということでしょう。この場合の「正方形」とは理論上の想定として、という意味です。
面積の単位は、人類の実生活では「�u」とか「�p²」というように表記されます。
これは、１辺が１メートルあるいは１センチメートルの正方形が、いくつ分あるかという意味です。
しかし、円や三角形など、正方形ではきっちり収まりきれない図形はどうするのか、という疑問がわきます。
この場合には、正方形を斜めに切って三角形に分解したり、無数の小さな正方形に分解して、近似値を求めるということになります。
理屈の上で、無数の無限に微小な正方形に分解して、それを寄せ集めて集計・集積するという考え方は、「微分・積分」の方法です。
ということは、考え方としての微分積分は、古代の幾何学の誕生とともに生まれていたわけです。

前回、命題の真偽を判断する練習として、以下のような課題を出しました。
�@　正方形は台形である。
�A　平行四辺形は台形である。
�B　平行四辺形はひし形である。
�C　酸素は水よりも軽い。
�D　対角線が直交する平行四辺形は、正方形である。
�E　対角線が直交する長方形は、正方形である。
�F　２つの内角が直角である台形は、長方形である。
�G　台形のうち、向かい合う内角が等しく、対角線が直交するものは、長方形である。

命題の真偽判断にさいしての考え方を見ながら、解説します。
�@について　　命題は真です。
正方形とは、向かい合う２組の辺がそれぞれ平行で、しかも４つの内角がすべて直角な四角形（長方形）で、すべての辺の長さが等しいものです。
台形とは、向かい合う１組の辺が平行な四角形です。
ということは、正方形（長方形）は対向する２組の辺がそれぞれ平行ですから、台形に含まれます。
つまり、台形という四角形の集合のなかに正方形の集合は包含されます。正方形　⊂　台形　ということで、命題は真となります。
なお、集合として四角形を考えると、正方形　⊂　長方形　⊂　平行四辺形　⊂　台形　⊂　四角形　という関係です。

�Aについて　　上の考え方から、真です。

�Bについて　　命題は偽です。

≪TVも注目≫中学生6000名を伸ばした驚異の数学ソフト！公立中学でも導入決定！

上の図は、四角形を台形にし、台形を平行四辺形にし、平行四辺形をひし形あるいは長方形にするために、それぞれつけ加える属性を示しています。正方形は、ひし形と長方形の属性に両方を備えたものとなります。

�Cの命題は偽です。
100℃を超えた水は気体となって、酸素よりも重くなります。また、酸素（分子）は気体の状態では水よりもはるかに軽いですが、-160℃くらいに冷やして液体にすると、水よりも重くなります。
というわけで、酸素がいつも水よりも重いとは限りません。
高校の科学の初歩で学ぶことに分子量があります。化学式では、水は Ｈ₂Ｏ　という化学式、酸素分子は　Ｏ₂　です。
水素の原子量は「１」、酸素は「16」ですから、水の分子量は、１×２＋16＝18　となり、酸素分子は　16×２＝32　です。気体とか液体とか同じ状態では、酸素の方が重いのです。

�Dの命題は偽です。
２つの対角線が直交する四角形には、正方形だけでなく、ひし形もあるからです。正方形は、ひし形のうち、特殊な集合なのです。

�Eの命題は真です。
長方形のうち、ひし形の属性をも同時に備えたものが正方形なのです。

�Fの命題は偽です。
隣り合う２内角が直角な台形は、長方形になりません。向かい合う１組の内角を直角にすれば、長方形になるのです。

�Gの命題は偽です。
台形のうち、向かい合う内角が等しく、対角線が直交するものは、ひし形です。内対角が等しく直角ならば、長方形となります。

前回の記事「数直線とものさし」では、負の数が登場しました。
そこでは、通常の数の増加とは逆の方向、つまり減少の方向への進み方を示す記号＝符号として「マイナス：−」を使うのだ、という規則を説明しました。
そこで数の表記方法ですが、プラスの数には「＋５」というようにプラス符号をつけないで、ただ「５」というように表記することにします。したがって、マイナスがついていない数は、プラスの世界の数だと考えてください。

上の図で、０から増加する方向を「＋（プラスの世界）」として、反対に０から減少する方向を「−（マイナスの世界）」と呼ぶことにしましょう。もともと、ラテン語でプラスは増加（大きなもの）を、マイナスは減少（小さなもの）を意味する言葉でした。
こういう風に考えると、負の数は実在する数なのです。
すなわち、「反対方向を意味する数」なのです。

≪TVも注目≫中学生6000名を伸ばした驚異の数学ソフト！公立中学でも導入決定！

ここで、マイナスを使った計算、引き算の意味を考えてみましょう。
たとえば、６−３＝３　という計算です。２つのものさしを反対向きに置いた上の図を参考にしましょう。
この引き算の意味は、「６マイナス３」で、６という数をまず基準にして、そこから減少の方向に３動いたところの数を指し示すということになります。
そこで、この計算は、６＋（−３）という風にも表すことができます。これは、６に対して、−３という数を加える、あるいは、増加の方向にマイナス３動かすということです。
こうしてみると、これまで単純に加減の計算の符号だと考えてきた＋や−は、数直線上での動きの方向とか位置関係を表す符号になるわけです。そして、マイナスは「反対方向の意味」を表します。

すると、たとえば「−1000円の利益」は「1000円の損失」になり、「北へ−20メートル」は「南へ20メートル」、「上に−54センチメートル」は「下に54センチメートル」という意味になるのです。

「数の世界」の仕組みを考えてみるために、数を表したり調べたりする道具としての「ものさし」を見てみましょう。

≪TVも注目≫中学生6000名を伸ばした驚異の数学ソフト！公立中学でも導入決定！

だいたい、こんな風になっているでしょうか。
ここでは、ものさしの目盛についている数はセンチメートル単位とします。で、１センチメートル間隔のなかにつけられている小さな目盛を１ミリメートル刻みとします。
すると、このものさしは、１ミリメートル刻みで物の長さや間隔を測れることになりますね。

ところが、１ミリメートルの目盛のあいだをレンズで見てみると、その刻みのあいだにも、目盛をきざめそうな間隔というか空間があることがはっきりわかります。
ということは、このものさしを電子顕微鏡で見るくらいに拡大してみると、そのあいだには、ものすごくたくさんの目盛を刻むことができるほどの空間があることがわかります。もちろん、人間の手では無理ですが。

そうすると、「１、２、３・・・」というセンチメートル単位の整数の値は、ものさしを製造した人間（会社）が、そういう風に目盛をふろうと企画してやったことで、数そのものは、たとえば１と２とのあいだに無数にあることになりますね。
つまり、長さを示す数というものは無限・無数にあるわけで、商品＝「ものさし」としてどういう目盛をつけるかは、つくる人間の側の選択にすぎない、ということがわかります。現実には無限の数が隙間なく連続しているのです。

そのような数の世界を表す図として「数直線」というイメージがあります。

上の図が「数直線」です。ここには「−８」という目盛がふられています。
「０」を基準にして、ものさしの１，２，３、・・・という数の増え方、進み方と反対方向への数の歩みを「−：マイナス」という記号を頭につけて、小さい方に向けて目盛をつけると、自然数の「８」のちょうど反対側に「−８」という数が来ます。
数の世界には「マイナスの数の世界」があるのです。「０」を境にして、鏡のように正反対の数の歩み、進み方をする世界です。
「そんな数は実際にはないじゃないか」という意見もあるでしょう。
でも、さきほどの「ものさし（透明とします）」を裏返しにして、「０」の反対側につけ足せば、「ものさしとしては「マイナスの数の世界」がイメージできます。
つまり、意味や仕組みが「正反対の方向の数の仕組み」というわけです。