古代のエジプトやバビロニアでは、毎年河川が氾濫を起こしました。
すると、河の流れや地形が変わってしまうこともあります。
ある年、エジプトのナイル河の氾濫の後、河川の流れが変わり、隣接する耕地（畑）だった場所に流れが入り込んでしまいました。下の図を参照。
そこで、もとの四角形の耕地と同じ面積の三角形の耕地にしなければなばらなくなりました。
どのようにすればいいでしょうか。できるだけ、元の場所を活用することが条件です。
古代エジプトの人びとは、こういう場合に、どうすれば元の耕地＝図形と同じ面積の別の図形をつくる方法を知っていたようです。
彼らは、上の図のようにして四角形と同じ面積の三角形をつくりました。
まず、辺ＢＣを延ばします。
次に、四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣと平行な直線（線分）ＥＦを、点Ｄを通って、辺ＢＣの延長線に達するように引きます。
それから、点Ａと点Ｆとを結ぶ線分を引きます。
すると、四角形ＡＢＣＤと同じ面積の三角形ＡＢＦができ上がります。
では、なぜ、四角形ＡＢＣＤと三角形ＡＢＦの面積が等しくなるのでしょうか。
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ポイントは平行線の性質です。
三角形ＡＣＤと三角形ＡＣＦの面積が等しくなるからです。
この２つの三角形では、底辺ＡＣは共通です。しかも、ＥＦ//ＡＣということで、高さも同じですから、《底辺×高さ÷２》で求める数値が同じということになります。
四角形ＡＢＣＤの面積＝三角形ＡＢＣの面積＋三角形ＡＣＤの面積
三角形ＡＢＦの面積＝三角形ＡＢＣの面積＋三角形ＡＣＦの面積
ここで、三角形ＡＣＤの面積＝三角形ＡＣＦの面積ですから、
四角形ＡＢＣＤ＝三角形ＡＢＦ となります。ＱＥＤ（以上で証明がなされました）
問題を単純化しましょう。
上の図で、ＤＥ//ＢＣです。
２本の平行線では、そのあいだの距離は常に等しいわけですから、３つの三角形ＡＢＣ、ＤＢＣ、ＥＢＣの高さは同じということになります。
そして、底辺ＢＣは共通ですから、この３つの三角形はすべて同じ面積です。
つまり、２つの平行線で、底辺が共通の三角形で、頂点が他方の線上にあるものは、すべて等しい面積となるのです。
ある図形と等しい面積の別の図形を作成することを「等積変形」と呼びます。
