2013年03月07日

命題の真偽を考える

前回、命題の真偽を判断する練習として、以下のような課題を出しました。
@ 正方形は台形である。
A 平行四辺形は台形である。
B 平行四辺形はひし形である。
C 酸素は水よりも軽い。
D 対角線が直交する平行四辺形は、正方形である。
E 対角線が直交する長方形は、正方形である。
F 2つの内角が直角である台形は、長方形である。
G 台形のうち、向かい合う内角が等しく、対角線が直交するものは、長方形である。

命題の真偽判断にさいしての考え方を見ながら、解説します。
@について  命題は真です。
正方形とは、向かい合う2組の辺がそれぞれ平行で、しかも4つの内角がすべて直角な四角形(長方形)で、すべての辺の長さが等しいものです。
台形とは、向かい合う1組の辺が平行な四角形です。
ということは、正方形(長方形)は対向する2組の辺がそれぞれ平行ですから、台形に含まれます。
つまり、台形という四角形の集合のなかに正方形の集合は包含されます。正方形 ⊂ 台形 ということで、命題は真となります。
なお、集合として四角形を考えると、正方形 ⊂ 長方形 ⊂ 平行四辺形 ⊂ 台形 ⊂ 四角形 という関係です。

Aについて  上の考え方から、真です。

Bについて  命題は偽です。

四角形.jpg

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上の図は、四角形を台形にし、台形を平行四辺形にし、平行四辺形をひし形あるいは長方形にするために、それぞれつけ加える属性を示しています。正方形は、ひし形と長方形の属性に両方を備えたものとなります。

Cの命題は偽です。
100℃を超えた水は気体となって、酸素よりも重くなります。また、酸素(分子)は気体の状態では水よりもはるかに軽いですが、-160℃くらいに冷やして液体にすると、水よりも重くなります。
というわけで、酸素がいつも水よりも重いとは限りません。
高校の科学の初歩で学ぶことに分子量があります。化学式では、水は H2O という化学式、酸素分子は O2 です。
水素の原子量は「1」、酸素は「16」ですから、水の分子量は、1×2+16=18 となり、酸素分子は 16×2=32 です。気体とか液体とか同じ状態では、酸素の方が重いのです。

Dの命題は偽です。
2つの対角線が直交する四角形には、正方形だけでなく、ひし形もあるからです。正方形は、ひし形のうち、特殊な集合なのです。

Eの命題は真です。
長方形のうち、ひし形の属性をも同時に備えたものが正方形なのです。

Fの命題は偽です。
隣り合う2内角が直角な台形は、長方形になりません。向かい合う1組の内角を直角にすれば、長方形になるのです。

Gの命題は偽です。
台形のうち、向かい合う内角が等しく、対角線が直交するものは、ひし形です。内対角が等しく直角ならば、長方形となります。



posted by 田舎おやじ at 09:08| Comment(0) | TrackBack(0) | ことばで学ぶ数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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