正の数と負の数

前回の記事「数直線とものさし」では、負の数が登場しました。
そこでは、通常の数の増加とは逆の方向、つまり減少の方向への進み方を示す記号＝符号として「マイナス：−」を使うのだ、という規則を説明しました。
そこで数の表記方法ですが、プラスの数には「＋５」というようにプラス符号をつけないで、ただ「５」というように表記することにします。したがって、マイナスがついていない数は、プラスの世界の数だと考えてください。

上の図で、０から増加する方向を「＋（プラスの世界）」として、反対に０から減少する方向を「−（マイナスの世界）」と呼ぶことにしましょう。もともと、ラテン語でプラスは増加（大きなもの）を、マイナスは減少（小さなもの）を意味する言葉でした。
こういう風に考えると、負の数は実在する数なのです。
すなわち、「反対方向を意味する数」なのです。

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ここで、マイナスを使った計算、引き算の意味を考えてみましょう。
たとえば、６−３＝３　という計算です。２つのものさしを反対向きに置いた上の図を参考にしましょう。
この引き算の意味は、「６マイナス３」で、６という数をまず基準にして、そこから減少の方向に３動いたところの数を指し示すということになります。
そこで、この計算は、６＋（−３）という風にも表すことができます。これは、６に対して、−３という数を加える、あるいは、増加の方向にマイナス３動かすということです。
こうしてみると、これまで単純に加減の計算の符号だと考えてきた＋や−は、数直線上での動きの方向とか位置関係を表す符号になるわけです。そして、マイナスは「反対方向の意味」を表します。

すると、たとえば「−1000円の利益」は「1000円の損失」になり、「北へ−20メートル」は「南へ20メートル」、「上に−54センチメートル」は「下に54センチメートル」という意味になるのです。

数直線とものさし

「数の世界」の仕組みを考えてみるために、数を表したり調べたりする道具としての「ものさし」を見てみましょう。

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だいたい、こんな風になっているでしょうか。
ここでは、ものさしの目盛についている数はセンチメートル単位とします。で、１センチメートル間隔のなかにつけられている小さな目盛を１ミリメートル刻みとします。
すると、このものさしは、１ミリメートル刻みで物の長さや間隔を測れることになりますね。

ところが、１ミリメートルの目盛のあいだをレンズで見てみると、その刻みのあいだにも、目盛をきざめそうな間隔というか空間があることがはっきりわかります。
ということは、このものさしを電子顕微鏡で見るくらいに拡大してみると、そのあいだには、ものすごくたくさんの目盛を刻むことができるほどの空間があることがわかります。もちろん、人間の手では無理ですが。

そうすると、「１、２、３・・・」というセンチメートル単位の整数の値は、ものさしを製造した人間（会社）が、そういう風に目盛をふろうと企画してやったことで、数そのものは、たとえば１と２とのあいだに無数にあることになりますね。
つまり、長さを示す数というものは無限・無数にあるわけで、商品＝「ものさし」としてどういう目盛をつけるかは、つくる人間の側の選択にすぎない、ということがわかります。現実には無限の数が隙間なく連続しているのです。

そのような数の世界を表す図として「数直線」というイメージがあります。

上の図が「数直線」です。ここには「−８」という目盛がふられています。
「０」を基準にして、ものさしの１，２，３、・・・という数の増え方、進み方と反対方向への数の歩みを「−：マイナス」という記号を頭につけて、小さい方に向けて目盛をつけると、自然数の「８」のちょうど反対側に「−８」という数が来ます。
数の世界には「マイナスの数の世界」があるのです。「０」を境にして、鏡のように正反対の数の歩み、進み方をする世界です。
「そんな数は実際にはないじゃないか」という意見もあるでしょう。
でも、さきほどの「ものさし（透明とします）」を裏返しにして、「０」の反対側につけ足せば、「ものさしとしては「マイナスの数の世界」がイメージできます。
つまり、意味や仕組みが「正反対の方向の数の仕組み」というわけです。

１＋１＝２ になる場合は？

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前回、数や数量の数え方、測り方にはいろいろな考え方があると述べました。
ということは、数や量というものは、人間の勝手に考えだした「主観」なのでしょうか。
しかし、一方で、言葉としての数、記号としての数字は、人間の脳の作用（精神・意識）が自分や外界を写し取ってきたものだとも述べました。
つまり、言葉や数、数字は世界の反映、映し鏡だということです。

何やら混乱するかもしれませんが、要するに、世界が人間の脳作用＝主観という鏡の側に写し取られ、変形されているわけです。
しかも、人間は自分の精神世界すら言葉や観念に置き換え、写し取って推論し、思考するのです。
そして、人間個人や集団の価値観や思惑、要するに世界観がこの反映には影響するので、鏡に映った像は、ひっくり返ったり歪んだりすることもあるわけです。つまり、バイアスやフィルターがかっかているのです。

それでも、人類が文化や文明をもってから１万年近く、この地上でさまざまな環境変化に適応して生存し続けてきたということは、言葉や数による世界の写し取りや認識がそれほど間違ってはいなかったということでしょうか。
もちろん、科学・工業文明がある一面だけ発達しすぎた感もありますので、これから先のことはわかりませんが。

１＋１＝２　はいつも成り立つわけではない！

前置きが長くなりました。
今日の話題は、《１＋１＝２》という数学の計数の出発点にあるはずの「常識」がじつは、この世界の出来事や仕組みのなかでは、きわめて限られた特殊な場合にすぎないということです。
数や数量の世界、数学の世界、力学の世界で、単純に１＋１＝２になるのは、ある価値観や法則＝約束事が通用している限りでのことなのです。その約束事の世界にとどまる限りで、単純な計算は可能なのです。

たとえば、上の図のリンゴ。それぞれに１個と見なすことができます。それで、たとえば、一番左のリンゴと真ん中のリンゴを合計すれば、１＋１＝２個となります。
でも、この２つのリンゴは色も形・大きさも違います。たぶん味も違うでしょう。重さも違うでしょう。
つまり、性質や品質、属性が違うものです。
そういうことがらを一切無視して、それぞれ独立の単体として１個と見なすという約束事のうえで、この単純な足し算は成り立っているのです。
だから、「私は重さや味なども考慮に入れたい」ということになれば、この約束事とともに「１＋１＝２」という原理もたやすく崩れ去ってしまいます。

このほかにも、１＋１＝２にならない場合があります。
たとえば、物理学の「力の合成」、ヴェクトルの問題です。

上の図のような90°の角度で互いに作用する力の和は、対角線の長さに相当する力となります。三平方の定理や三角関数を学んである人なら、「ああ、√２＿の大きさになるな」とすぐにわかるでしょう。《１²＋１²＝２》の平方根です。
ここでは１＋１＝２　にはなりません。

このほかにも、粒子とか分子の大きさが異なる液体や穀物の容積の合計も、やはり１＋１＝２　にはなりません。
たとえば、水とアルコールとをそれぞれ１リットルずつ同じ容器に入れてよくかき混ぜると、２リットルにはなりません。豆と米でも同じです。
小さな粒子・分子が大きな分子の隙間に入り込んだりして、容積は２リットルよりも小さくなります（下の図のように）。

ところが、重さならば、水１キログラムとアルコール１キログラムの合計は２キログラムとなるのです。ただし、同じ１つの重力系のなかにおいてという限定つきですが。
このように、ある特殊な側面（次元）だけに限って思考＝計測すれば、１＋１＝２　が成り立つのです。

数量の数え方、測り方

数、数量についての見方、考え方は、じつにさまざまです。
ある子どもたちのグループで、リンゴの数量を調べることにしました。
「リンゴは全部でどれだけありますか」という課題でした。
たとえば、こんなリンゴです。

Ａ君は、リンゴを「１個、２個、３個・・・」と数えていきました。
そういう数え方をする子どもが大半でした。
ところが、絵を描くことが好きなＢ君は、あることに気がつきました。
テーブルに置かれたリンゴは、それぞれ大きさや形、色が違います。
「絵に描いたら面白いだろうな。でも、色や形が違うものを、どうやって数えたらいいんだろうか？　似た色のリンゴを集めてグループにして数えようか、それとも大きさでグループに分けようか、いやいや重ささを測ってみようか・・・」と。
しばらくしてから、みんなで調べたリンゴの数量を発表することになりました。

ほとんど子どもの答えは「リンゴは全部で８個ある」でした。この答えを�@とします。

なかには「大きいリンゴが５個、小さなリンゴが２個、中くらいの大きさのリンゴが１個」という答えもありました。これを�Aとします。

さらに、「色や大きさがまちまちなので、リンゴの重さを測って合計を出しました。全部で2435グラムです」という答えもありました。この答えを�Bとします。

さあ、では正しい答えはどれでしょうか。
どれも正しいですね。

飛び飛びの数＝個数　と　連続する数＝重さ

数・数量を数えるということは、じつにいろいろな意味があって、数え方や測り方も考え方、見方しだいでやはりいろいろあります。
�@は、リンゴそれぞれの色や大きさ、重さなどの性質（特性・属性）を考えずに度外視して、それぞれのリンゴを１つの独立した個体・単体と見なして、その個数を測るという方法です。
�Aは、だいたいの大まかな大きさの違い（見かけの大きさだけで重さは考えない）で分類して、それぞれの大きさの個数を数えました。そして、リンゴそれぞれを１つの独立した個体・単体と見る方法は�@と同じです。
�Bは、リンゴそれぞれを独立した個体・単体とは見なさずに、重さの集まりと考えたようです。そして、その全部を集計して、大きな全体の集まりとして数量（重さの合計）を測りました。
ここで、�Bの答えの数量キログラム単位で表すと、2.435キログラムとなります。小数になります。
この場合、区切りのよい１個、２個、３個という整数、自然数ではなくて、小数の数量になっています。

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�Bの測定結果を出したＣ君は、重量測定機の上に、１つずつリンゴを足して乗せていきました。１つ目の重さは、342.3グラムでした。次のリンゴを乗せると、合計で515.6グラムになりました。
ここでは、１つ目のリンゴと２つ目のリンゴとのあいだに区分というか仕切りはありません。重さは、１個１個のリンゴの区別にはかかわらず、連続的に増加していきます。
そうしてみると、重さという考え方には、個数による仕切りがないということになります。
もし豆やサクランボのように、小さくて軽くて、１つひとつの重さが小さければ、１つ増えるごとの重さの変化はもっとずっと小さなものになります。
砂粒や塩の粒だったらどうでしょう。

というわけで、重さの変化の大きさは、どこまでも限りなく小さくなっていきます。
そうすると、１個、２個、３個というように飛び飛びに変化する、つまり不連続の数の変化と、切れ目なく連続する数というものがあるわけです。
今、私たちは数学という科学の「大問題」の入口に立っているのです。