2013年03月09日

四角形を等しい面積の三角形に

古代のエジプトやバビロニアでは、毎年河川が氾濫を起こしました。
すると、河の流れや地形が変わってしまうこともあります。
ある年、エジプトのナイル河の氾濫の後、河川の流れが変わり、隣接する耕地(畑)だった場所に流れが入り込んでしまいました。下の図を参照。

等積変形.jpg

そこで、もとの四角形の耕地と同じ面積の三角形の耕地にしなければなばらなくなりました。
どのようにすればいいでしょうか。できるだけ、元の場所を活用することが条件です。
古代エジプトの人びとは、こういう場合に、どうすれば元の耕地=図形と同じ面積の別の図形をつくる方法を知っていたようです。

変形.jpg

彼らは、上の図のようにして四角形と同じ面積の三角形をつくりました。
まず、辺BCを延ばします。
次に、四角形ABCDの対角線ACと平行な直線(線分)EFを、点Dを通って、辺BCの延長線に達するように引きます。
それから、点Aと点Fとを結ぶ線分を引きます。
すると、四角形ABCDと同じ面積の三角形ABFができ上がります。
では、なぜ、四角形ABCDと三角形ABFの面積が等しくなるのでしょうか。

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ポイントは平行線の性質です。
三角形ACDと三角形ACFの面積が等しくなるからです。
この2つの三角形では、底辺ACは共通です。しかも、EF//ACということで、高さも同じですから、《底辺×高さ÷2》で求める数値が同じということになります。
四角形ABCDの面積=三角形ABCの面積+三角形ACDの面積
三角形ABFの面積=三角形ABCの面積+三角形ACFの面積
ここで、三角形ACDの面積=三角形ACFの面積ですから、
四角形ABCD=三角形ABF となります。QED(以上で証明がなされました)

等積三角形.jpg

問題を単純化しましょう。
上の図で、DE//BCです。
2本の平行線では、そのあいだの距離は常に等しいわけですから、3つの三角形ABC、DBC、EBCの高さは同じということになります。
そして、底辺BCは共通ですから、この3つの三角形はすべて同じ面積です。 つまり、2つの平行線で、底辺が共通の三角形で、頂点が他方の線上にあるものは、すべて等しい面積となるのです。
ある図形と等しい面積の別の図形を作成することを「等積変形」と呼びます。



posted by 田舎おやじ at 10:07| Comment(0) | 図形と幾何学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2013年03月07日

図形の面積を考える

人類はそうとう古い古代から、図形や幾何学について考え抜き、さまざまな法則や定理・公理を発見してきました。
とりわけ明白な記録や証拠が残されているのは、古代エジプトとメソポタミア(バビロニア)です。

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おそらく、ともに毎年氾濫を繰り返す大河が流れているためだと考えられています。
というのは、毎年春から夏にかけて、エジプトではナイル河が、メソポタミアではティグリス河とユウフラテス河が、膨大な雪解け水のために洪水を起こしました。
ティグリスと言うのは、ギリシア語で「トラのように獰猛なもの」という意味だそうです。たぶん、その河は氾濫するときには、ものすごく猛威をふるったからでしょう。
さて、河は水の供給源ですから、流域には畑・耕作地が広がっていました。毎年の氾濫は、上流から肥沃な土砂を運んでくれたので、この両地帯は肥沃な農地だったわけです。

ところが、河が氾濫すると、河の流れ筋が変わってしまったり、土地が変形したり、畑の境界線が消え去ってしまいます。
そうすると、農民たちに以前と同じ形状や面積の耕地を復元してやらないと、争いのもとになってしまいます。
同じ形の畑を復元しなければなりせん。もし地形が変わってしまってそれが無理なら、同じ面積の耕地を公平に分け与えなければなりません。
そのために、図形の性質を検討して幾何学が発達し、面積を求める方法、そして形を変えて同じ面積にする方法(等積変形)や数学が発達したのでしょう。
さらに、幾何学や数学は、のちのピュラミッド建設や都市の大型建物の建設のために、役立てられ、さらに発展していったことでしょう。

ところで、図形の面積とは何でしょうか
平面で見た場合の「広がりの大きさ」ということらしいのですが、実は、数学上の明確な定義はないようです。
強いて言えば、図形のなか(表面)に「正方形がいくつ入るか」ということでしょう。この場合の「正方形」とは理論上の想定として、という意味です。
面積の単位は、人類の実生活では「u」とか「p2」というように表記されます。
これは、1辺が1メートルあるいは1センチメートルの正方形が、いくつ分あるかという意味です。
しかし、円や三角形など、正方形ではきっちり収まりきれない図形はどうするのか、という疑問がわきます。
この場合には、正方形を斜めに切って三角形に分解したり、無数の小さな正方形に分解して、近似値を求めるということになります。
理屈の上で、無数の無限に微小な正方形に分解して、それを寄せ集めて集計・集積するという考え方は、「微分・積分」の方法です。
ということは、考え方としての微分積分は、古代の幾何学の誕生とともに生まれていたわけです。

posted by 田舎おやじ at 10:28| Comment(0) | TrackBack(0) | 図形と幾何学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2013年02月09日

円という図形の意味をさぐる

今回は幾何学、つまり図形に関する数学の入口に立ってみましょう。
ところで、幾何学は英語でgeometryです。もともとはギリシア語で、ゲオは大地や地面、メトルは計測する、測量するとか韻律を調べるという意味があるそうです。だから、測地学というわけで、もともとは耕地とか建物の敷地などの形状や面積を調べる技法から始まったといわれています。

そのせいか、机の上で図形を見ているよりも、屋外(庭)に出て、地面に図形を描いてみたり、物の形や運動の様子を調べて見る方が、数学や物理学として図形を学ぶための役に立つことも多いのです。
こういう話の始め方には、無理があるでしょうかねえ。無理やり話を戸外や庭にもっていこうとしているみたいで。

円を描く

今回は《円という図形》の話です。
まず円を描いてみましょう。机の上のノートや画用紙になら、コンパスを使えば簡単に円が描けますね。
しかし、それでは「円」という図形の意味はあまりわかりません。
もちろん、コンパスは円の中心と半径を決めて回すと円が描けるのですから、ある中心点から等しい距離にある点の集合、または軌跡(動いた痕跡)だということはわかりますが。
では、庭に出て直径4メートルくらいの円を描くときはどうしますか。
短い棒が2本と紐が1本あれば、円を描けますね。
2本の棒にそれぞれ紐の端を縛りつけて、一方の棒を中心にして、片方の棒で地面に跡が残るように回せばいいのです。このとき、紐はぴんと張っていなければなりません。少しでも緩むと、円が正確に描けません。

circle.png

地面に跡を残さなくてもいいとすると、紐の端に何か重りになるものを結びつけて、それを外側にして空中を飛ぶように回せば、重りは円の形の軌道を描いて回転することになります。これも円です。
これは自分の身体や目を使う大事な経験です。円がどういうものかを知るためには。

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運動または力学としての円

この2つの場合は、何かの運動の結果として地面の上や空中に、軌跡や軌道として円が描かれました。
このことを少し考えてみましょう。
いずれの場合も、中心になる棒や手がぴんと張った紐を引っ張り続けていたのです。そして外側の棒や重りは、紐が緩むことがないように外側に向かって動こうとしていました。
とくに重りの場合には、つねに外に外に飛び出そうとしていて、その力は紐をつうじて手にかかってきます。
もし、紐が切れたり、手を離したりすれば、重りは円の外側に遠く飛び去っていくでしょう。

ということは、円という軌跡は、中心に向かって引き落とそう(引っ張る)力と、外側に飛び去っていこうとする力が合成されて、均衡しているときにできる形なのですね。
地球や木星など、太陽系の天体=惑星たちは、中心の太陽の巨大な重力を受けて円(正確には楕円)運動をしています。太陽の周囲を公転しているのです。
もし太陽の重力が大きすぎれば、惑星は螺旋を描きながら太陽に向かって落ち込んでいくでしょう。
運動の軌跡としての円という図形は、落下させようとする力と飛び離れようとする力の合成が生み出す運動の軌跡=軌道なのです。

posted by 田舎おやじ at 13:01| Comment(0) | TrackBack(0) | 図形と幾何学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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